Integrales II - Métodos de Integración

Ejercicios de Ampliación

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Se considera la función real de variable real definida por:
$f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} x^2 & si & x < 2\\ x+a & si & 2 \leq x \leq 5\\ -x^2+5x+b & si & x > 5\\ \end{array} \qquad (a,b \in R)$

a) Calcúlense los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea continua en $x = 2$ y en $x = 5$ .
b) Para $a = 1$ , $b = 6$ , calcúlense las derivadas $f'(1)$ y $f'(7)$ .
c) Para $a = 1$ , $b = 6$ , calcúlese la integral definida $\int_3^6 f(x) dx$
Calcular: $\int x^3 ln(x) dx$
donde $ln(x)$ es el logaritmo neperiano de $x$ .
Halla la ecuación de una curva que pasa por los puntos $P(0,3)$ y $Q(-1,4)$ sabiendo que su derivada segunda es $f''(x)=6x-2$
Dibuje las gráficas aproximadamente de las funciones y la región entre ellas $y=\sqrt{6x}$ y $y=\frac{x^2}{6}$
Calcule también el área que determinan