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Funciones II - Estudio Analítico

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Calcula las asíntotas de la función $f(x)=\frac{x^2(x+a)}{x^2+b}+a$ , $\quad \forall \:a, b > 0$
En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la expresión $B(x) = 0.5x^2-4x+6$ , siendo x la inversión en publicidad, en miles de euros, con x en el intervalo $[0,10]$ .
a) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?
b) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?
c) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?
Solución
Para la función $f(x) = (x+2) e^x$ , se pide:

a) Estudia su dominio y continuidad
b) Determina sus puntos de corte con los ejes
c) Obtén las coordenadas de los máximos y mínimos relativos
d) Determina las coordenadas de los puntos de inflexión

(Recuerda que $e^x \neq 0 \quad \forall x \in R$ )
La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por $f(x) = - 2x^2 + 36x + 138, x\ge 0$ .
a) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo.
b) Calcule f’(7) e interprete el signo del resultado
La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por $f(x) = - 2x^2 + 36x + 138, x\ge 0$ . Dibuje dicha función de beneficios f(x). ¿Para qué valor o valores de la inversión, x, el beneficio es de 138 mil euros
Sea $f:R\rightarrow R$ definida por $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ .

Halla $a$ , $b$ y $c$ para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abcisa $x=\frac{1}{2}$ y que la recta tangente en el punto de abcisa $x=0$ tenga por ecuación $y=5-6x$
Sea $f:R\rightarrow R$ definida por $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ . Suponiendo que $a=3,\ b=-9,\ c=8$ calcule los extremos relativos de f
Para las funciones $f:R\rightarrow R$ , $g:R\rightarrow R$ definidas por $f(x)=\frac{|x|}{2}\ \ \ y \ \ \ g(x)=\frac{1}{1+x^2}$ esboce las gráficas de ambas funciones sobre los mismos ejes y calcule los puntos de corte entre ambas
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f=\frac{|x|}{2}$ y $g=\frac{1}{1+x^2}$