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1 - Lógica de proposiciones y predicados de primer orden

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  •  

    Reescribe las fórmulas con todos sus paréntesis, sabiendo que la reposición correcta se obtiene aplicando el convenio fijado:

    1.- \newline (p\rightarrow q)\vee r
    2.- \neg p\wedge q\leftrightarrow r\vee s
    3.- ((p\vee q)\wedge\neg r)\rightarrow \neg s
    4.- (p\leftrightarrow s)\rightarrow s\wedge\top
    5.- (\bot\rightarrow q\vee\top)\wedge r
    6.- p\wedge q\wedge r\wedge s\wedge\bot\rightarrow\neg s
    7.- p\vee q\vee r\vee s\rightarrow\neg(p\wedge s)
    8.- (\top\rightarrow\bot)\wedge(p\vee \neg r\vee s)
    9.- ((p\vee r\vee s\vee\neg r)\wedge(p\vee r\vee s\vee\neg p))\vee s
    10.- ((p\wedge\neg p)\wedge(q\vee r\vee\neg p))\vee(r\vee (r\vee\neg r))

  •  

    Enumere cuáles de las diez fórmulas satisface la interpretación: p:0, q:1, r:0, s:1:

    1.- \newline (p\rightarrow q)\vee r
    2.- \neg p\wedge q\leftrightarrow r\vee s
    3.- ((p\vee q)\wedge\neg r)\rightarrow \neg s
    4.- (p\leftrightarrow s)\rightarrow s\wedge\top
    5.- (\bot\rightarrow q\vee\top)\wedge r
    6.- p\wedge q\wedge r\wedge s\wedge\bot\rightarrow\neg s
    7.- p\vee q\vee r\vee s\rightarrow\neg(p\wedge s)
    8.- (\top\rightarrow\bot)\wedge(p\vee \neg r\vee s)
    9.- ((p\vee r\vee s\vee\neg r)\wedge(p\vee r\vee s\vee\neg p))\vee s
    10.- ((p\wedge\neg p)\wedge(q\vee r\vee\neg p))\vee(r\vee (r\vee\neg r))

  •  

    Se propone la construcción de fórmulas con las siguientes restricciones: (a) sólo se usa, repetidamente, la proposición p, (b) finalizan todas ellas (tienen por conectiva principal) una conjunción (’y’, ∧), (c) sólo se usa, exactamente una vez, alguna de las otras cuatro conectivas.P. ej. (p ∧ (p ∨ p)).

    - a) ¿cuántas fórmulas distintas pueden generarse con esas restricciones?
    - b) la fórmula del ejemplo consta de 9 caracteres, ¿cuántas de esas fórmulas tienen exactamente 9 caracteres? ¿cuántas tienen otro número de caracteres?
    - c)partiendo de dos de esas fórmulas ¿puede construir, ya sin esas restricciones, una fórmula con exactamente 21 caracteres cuya conectiva principal es un condicional →?

    Solución
  •  

    En la construcción de la fórmula del ejemplo, (p ∧ (p ∨ p)), se han producido los siguientes tres resultados intermedios: p, (p ∨ p), (p ∧ (p ∨ p)).

    - a) ¿cuantos y cuáles son estos ’resultados intermedios’ en la fórmula ((p∧q)→((¬r)∨s))? (no se preocupe por el orden relativo de enumeración)
    - b) construya el árbol sintáctico de la fórmula ’de abajo arriba’, desde sus componentes hacia la fórmula propuesta, ¿cuantos nodos, cuantas posiciones, tiene este árbol?

    Solución
  •  

    El árbol sintáctico de la fórmula ((((p → q) → r) → s) → t), de arriba abajo, va creciendo siempre por la izquierda. Dibújelo. Desde el nodo de la fórmula completa hasta el nodo p, incluidos ambos, tiene una profundidad de 5 nodos.

    - a) sólo recolocando los paréntesis en esa fórmula, produzca otra que tenga una profundidad hasta el nodo t de 5 nodos
    - b) sólo recolocando paréntesis, produzca otra que tenga una profundidad hasta el nodo q de 4 nodos
    - c) ¿dónde hay que colocar los paréntesis para que el árbol resultante tenga, en su rama más larga, una profundidad 4? ¿hay varias opciones?
    - d) ¿es posible recolocar esos paréntesis para que el árbol resultante tenga, en su rama más larga, una profundidad 3?

    Solución
  •  

    ¿Cuáles de las diez fórmulas satisface la interpretación p:1, q:1, r:0 y s:0?

    1.- \newline (p\rightarrow q)\vee r
    2.- \neg p\wedge q\leftrightarrow r\vee s
    3.- ((p\vee q)\wedge\neg r)\rightarrow \neg s
    4.- (p\leftrightarrow s)\rightarrow s\wedge\top
    5.- (\bot\rightarrow q\vee\top)\wedge r
    6.- p\wedge q\wedge r\wedge s\wedge\bot\rightarrow\neg s
    7.- p\vee q\vee r\vee s\rightarrow\neg(p\wedge s)
    8.- (\top\rightarrow\bot)\wedge(p\vee \neg r\vee s)
    9.- ((p\vee r\vee s\vee\neg r)\wedge(p\vee r\vee s\vee\neg p))\vee s
    10.- ((p\wedge\neg p)\wedge(q\vee r\vee\neg p))\vee(r\vee (r\vee\neg r))

  •  

    En algunas fórmulas no es necesario efectuar todos los cálculos. ¿Ha encontrado algún atajo a la hora de evaluar alguna fórmula?

    - 1.- \newline (p\rightarrow q)\vee r
    - 2.- \neg p\wedge q\leftrightarrow r\vee s
    - 3.- ((p\vee q)\wedge\neg r)\rightarrow \neg s
    - 4.- (p\leftrightarrow s)\rightarrow s\wedge\top
    - 5.- (\bot\rightarrow q\vee\top)\wedge r
    - 6.- p\wedge q\wedge r\wedge s\wedge\bot\rightarrow\neg s
    - 7.- p\vee q\vee r\vee s\rightarrow\neg(p\wedge s)
    - 8.- (\top\rightarrow\bot)\wedge(p\vee \neg r\vee s)
    - 9.- ((p\vee r\vee s\vee\neg r)\wedge(p\vee r\vee s\vee\neg p))\vee s
    - 10.- ((p\wedge\neg p)\wedge(q\vee r\vee\neg p))\vee(r\vee (r\vee\neg r))

  •  

    1) Con el convenio para la eliminación de paréntesis, ¿qué fórmula, con todos sus paréntesis, corresponde a la siguiente? ¬p ∨ ¬q → t ∨ (q ↔ s)

    2) Se desea construir todas las interpretaciones con las que evaluar conjuntamente dos fórmulas. ¿Cuantas son las líneas de la tabla de verdad conjunta de estas dos fórmulas? (p → ¬q) → r (r ∧ s) ∨ t

    Solución
  •  

    Dada la fórmula (Pa ∧ Qb) ∨ (¬Pb ∧ Qa), se interpreta sobre Universo U=1,2,3,4, con P=1,3, Q=2 y los elementos para a y b que se indican en las opciones. Marque todas las opciones que completan esta interpretación y satisfacen la fórmula.

    - a) a=1, b=1
    - b) a=1, b=2
    - c) a=2, b=3
    - d) a=4, b=2
    - e) a=3, b=2

    Solución
  •  

    Dada la fórmula (Pa → Qb) ∨ (¬Pb → Qa), se interpreta sobre Universo U=1,2,3,4, con P=1,3, Q=2 y los elementos para a y b que se indican en las opciones. Marque todas las opciones que completan esta interpretación y satisfacen la fórmula.

    - a) a=2, b=1
    - b) a=1, b=4
    - c) a=1, b=1
    - d) a=4, b=4
    - e) a=3, b=4

    Solución

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