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Integrales II - Métodos de Integración

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Se considera la función real de variable real definida por:

$f(x)=\frac{x^2+2}{x^2-4} \qquad , \qquad x \neq \pm2$

a) Determínense las asíntotas de f.
b) Calcúlense los máximos y mínimos relativos de f y determínense sus intervalos de crecimiento.
c) Calcúlese la integral definida: $\int_3^5 (x^2-4)f(x)dx$
Dada la función $g : R \longrightarrow R$ definida por $g(x) = 2x + |x^2-1|$

a) Esboza la gráfica de g
b) Calcula $\int_0^2 g(x) dx$
Se considera la función real de variable real definida por:
$f(x) = x^3 + ax^2 + bx \quad ; \quad a, b \in R$ .

a) ¿Qué valores deben tomar $a$ y $b$ para que $f$ tenga un máximo relativo en el punto $P(1, 4)$ ?
b) Para $a = −2$ , $b = −8$ , determínense los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas y determínense los puntos de inflexión de dicha gráfica.
c) Para $a = −2$ , $b = −8$ , calcúlese el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de $f$ y el eje $OX$ .
Se considera la función real de variable real definida por:
$f(x) = \left\{ \begin{array}{lcc} x^2 & si & x < 2\\ x+a & si & 2 \leq x \leq 5\\ -x^2+5x+b & si & x > 5\\ \end{array} \qquad (a,b \in R)$

a) Calcúlense los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea continua en $x = 2$ y en $x = 5$ .
b) Para $a = 1$ , $b = 6$ , calcúlense las derivadas $f'(1)$ y $f'(7)$ .
c) Para $a = 1$ , $b = 6$ , calcúlese la integral definida $\int_3^6 f(x) dx$
Calcular: $\int x^3 ln(x) dx$
donde $ln(x)$ es el logaritmo neperiano de $x$ .
Halla la ecuación de una curva que pasa por los puntos $P(0,3)$ y $Q(-1,4)$ sabiendo que su derivada segunda es $f''(x)=6x-2$
Solución
Dibuje las gráficas aproximadamente de las funciones y la región entre ellas $y=\sqrt{6x}$ y $y=\frac{x^2}{6}$
Calcule también el área que determinan