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Ingeniería Informática UAM Septiembre 2010

  •  Indique si la aplicación definida entre los espacios vectoriales de las matrices cuadradas de orden dos y los polinomios de grado menor o igual que dos, que viene determinada por la expresión: f\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)=a+(b+c)x+dx^2 es lineal
  •  Dada una aplicación lineal f entre dos espacios vectoriales X e Y: f:X\rightarrow Y, demuestre que el núcleo de dicha aplicación, que es el conjunto dado por la expresión: Ker\ f=\{x\in X:f(x)=0\} es subespacio vectorial de X
  •  En una matriz A cuadrada de orden 3, cuyas filas suman 1, determine un vector propio asociado al valor propio \lambda=1
    Solución
  •  Se define la traza de una matriz A cuadrada de orden n (tr(A)), como la suma de los elementos de la diagonal principal de dicha matriz. Compruebe si es cierto, para dos matrices A y B cuadradas de orden n: tr(A\cdot B^t)=tr(B\cdot A^t)
    Solución
  •  Si A es una matriz cuadrada de orden n, compruebe que sus filas son perpendiculares entre sí, sabiendo que A^t = A^{-1}
  •  En el espacio vectorial R_3[x] se define el producto escalar <p(x),q(x)>=\alpha\int_0^1p(x)q(x)\ dx con \alpha real positivo y tal que el polinomio p(x)=x^2+x+1 tiene módulo 1 con respecto a ese producto escalar. Calcule el valor de \alpha en esas condiciones
    Solución
  •  Sabiendo que la forma cuadrática F(x,y,z)=(x,y,z)\left(\begin{array}{ccc}\alpha&1&0\\1&1&1\\0&1&3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) es definida positiva, determine el valor de \alpha
    Solución
  •  En un espacio vectorial V de dimensión 3 tenemos dos bases: B_1=\{u,v,w\} B_2=\{u+v,u-v,u+w\} Calcule las coordenadas respecto de B_2 de un vector z cuyas coordenadas respecto de la base B_1 son (a,b,c)
    Solución
  •  Dada la aplicación lineal f:R_2[x]\rightarrow R_3[x] cuya expresión es f(p(x))=x\cdot p(x), encuentre la matriz asociada para bases respectivas B_1=\{1,x,1+x^2\} y B_2=\{3,x-1,x+x^2x+x^2+x^3\} e indique también una base para el subespacio Im\ f
    Solución
  •  Dada la aplicación lineal f:R_2[x]\rightarrow R_3[x] cuya expresión es f(p(x))=x\cdot p(x), encuentre la matriz asociada para bases respectivas B_1=\{1,x,1+x^2\} y B_2=\{3,x-1,x+x^2x+x^2+x^3\} e indique también una base para el subespacio Im\ f
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